1. Введение

+2. Основные структуры

2.1 Элементы теории множеств
2.2 Операции с множествами
2.3 Функции и способы их задания
2.4 Числовые последовательности

3. Пределы. Непрерывные функции +

3.1 Предел последовательности
3.1.1 Определения
3.1.2 Арифметика пределов
3.1.3 Арифметика бесконечно малых
3.1.4 Признаки существования пределов
3.1.5 Вычисление пределов
3.1.6 Замечательный предел
3.2 Функции непрерывной переменной
3.2.1 Определения
3.2.2 Арифметика пределов
3.2.3 Арифметика бесконечно малых
3.2.4 Признаки существования пределов
3.2.5 Замечательные пределы
3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
3.3 Непрерывные функции
3.3.1 Определения
3.3.2 Основные свойства
3.3.3 Разрывы функции

4. Производная, дифференциальное исчисление+

4.1 Производная
4.1.1 Определение производной
4.1.2 Производная от элементарных функций
4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
4.1.5 Таблица производных
4.2 Первый дифференциал
4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
4.3 Свойства дифференцируемых функций
4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

5. Высшие производные+

5.1 Определение и свойства высших производных
5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
5.3 Теорема Тейлора
5.4 Формула Тейлора для некоторых функций

6. Приложения дифференциального исчисления+

6.1 Монотонность функции и знак ее производной
6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба

7. Первообразная (неопределенный интеграл)+

7.1 Определение и основные свойства первообразных
7.2 Таблица основных первообразных
7.3 Интегрирование по частям
7.4 Замена переменной в первообразной

8. Техника вычисления первообразных+

8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
8.1.1 Полиномы, основные свойства
8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
8.2 Интегралы от тригонометрических функций
8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
8.4 Подстановки Эйлера
8.5 "Неберущиеся" интегралы

9. Определенный интеграл+

9.1 Определение
9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
9.3 Основные свойства
9.4 Формула Ньютона-Лейбница
9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
9.4.2 Формула Барроу
9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
9.6 Замена переменной в определенном интеграле

10. Несобственные интегралы+

10.1 Несобственные интегралы 1 рода
10.1.1 Определение и основные свойства
10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
10.2 Несобственные интегралы 2 рода
10.2.1 Определение и основные свойства
10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

11. Интегралы зависящие от параметра+

12. Приложения определенных интегралов+

12.1 Площадь плоских фигур
12.2 Длина дуги кривой
12.3 Вычисление объема тел
12.4 Приложения в механике
Глава 5

6. Приложения дифференциального исчисления

6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба

С помощью формулы Тейлора второго порядка можно более детально описать поведение функции.

Определение. Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх в точке $x_0$, если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит ниже касательной к графику в этой точке.

Рис 6: Выпуклая вверх в точке $x_0$ функция.

Эта ситуация изображена на рис. 6. Аналогично определяется и выпуклость вниз.

Определение. Точка называется точкой перегиба, если в некоторой окрестности точки слева от этой точки и справа от нее функция имеет разный характер выпуклости (например, в точках слева - выпуклость вверх, в точках справа - выпуклость вниз).

Теорема. Пусть $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную на интервале $(a,b)$. Если на этом интервале $f''(x)< 0$, функция $f(x)$ является выпуклой вверх во всех точках этого интервала.

Доказательство.

Для доказательства выпишем формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x)$:

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi )(x-x_0)^2, \]

где точка $\xi $ лежит между точками $x$ и $x_0$. Последнее слагаемое, согласно условиям теоремы, отрицательно, так что

f(x) < f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

Однако уравнение касательной к графику, проходящей через точку $(x_0,f(x_0))$ как раз совпадает с выражением, выписанном справа: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Таким образом, график функции лежит ниже графика касательной. Выбор точки $x_0\in (a,b)$ был произволен, так что функция выпукла вверх во всех точках интервала $(a,b)$. ч.т.д.

Аналогичный результат (с переменой знака второй производной) может быть сформулирован и для выпуклости вниз.

В соответствии с этими результатами для функции, имеющей непрерывную вторую производную, точками перегиба являются те точки, в которых вторая производная меняет знак.

Пример.

Рассмотрим функцию $f(x)=x^3$. Вычислим ее вторую производную, получим $f''(x)=6x$. При $x>0$ вторая производная положительна - так что функция при этих $x$ выпукла вниз. При $x< 0$ вторая производная отрицательна - так что функция при этих $x$ выпукла вверх. В точке $x=0$ имеем точку перегиба - слева и справа от нее характер выпуклости функции разный.

Задачи.

1. Показать, что функция $f(x)=x^2+x^4$ везде выпукла вниз.

2. При каких значениях $a,b$ точка $A(3,1)$ является точкой перегиба кривой $f(x)=ax^2+bx^3$?