Глава 11

12. Приложения определенных интегралов

12.4 Приложения в механике

С помощью определенного интеграла выражаются многие механические характеристики распределенных в пространстве объектов - такие, как масса, работа заданных сил, кинетическая энергия тела, момент инерции тела, координаты центра масс и т.д.

1. Положение центра масс нити с заданной плотностью.

Пусть в 3-мерном пространстве задана нить $x=x(t), \, y=y(t), \, z=z(t)$, $t \in [t_1,t_2]$, причем линейная плотность нити задается функцией $\rho (t)$. Определим положение центра масс - вычислим его координаты. Для этого разобъем нить на малые кусочки и заменим каждый такой кусочек звеном ломаной, которому соответствует подинтервал переменной $t$, $[t_k, t_k+\Delta t_k]$. Длина этого звена ломаной $\Delta s_k=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2+(\Delta z_k)^2}$, а масса $\Delta m_k=\rho (\widetilde{t_k})\sqrt{(x'(\widetilde{t_k}))^2+(y'(\widetilde{t_k}))^2+(z'(\widetilde{t_k}))^2}\Delta t_k$, здесь мы использовали формулу Лагранжа для интервала $[t_k, t_k+\Delta t_k]$, $\widetilde{t_k} \in [t_k, t_k+\Delta t_k] $. Умножая на значение координаты $x(\widetilde{t_k})$, и суммируя по $k$, получаем интегральную сумму. Переходя к пределу в этой интегральной сумме (уменьшая максимальный интервал разбиения), получаем, что положение $x$-координаты центра массы, $x_c$, определяется из условия

\[ Mx_c=\int_{t_1}^{t_2}x(t)\rho(t)\sqrt{(x'(t_k))^2+(y'(t_k))^2+(z'(t_k))^2}dt, \]

где интеграл является пределом построенной выше интегральной суммы,

\[ M=\int_{t_1}^{t_2}\rho(t)dt \]

- масса нити. В итоге:

\[ x_c=\frac{\int_{t_1}^{t_2}x(t)\rho(t)\sqrt{(x'(t_k))^2+(y'(t_k))^2+(z'(t_k))^2}dt}{\int_{t_1}^{t_2}\rho(t)dt}. \]

Выражения для $y_c, \, z_c$ выглядят аналогично, следует заменить букву $x$ на $y, \,z$ соответственно.

2. Момент инерции нити с заданной плотностью относительно заданной оси.

Рассмотрим нить, заданную на плоскости уравнением $y=f(x)$, c плотностью $\rho (x)$, причем $x \in [a, \, b]$. Вычислим ее момент относительно оси $x$.

Рис 12: Момент инерции массивной нити.

Выделим на нити один кусочек, такой, что его левый край соответствует точке $x=x_k$, а правый - точке $x=x_k+\Delta x$, заменим этот кусочек отрезком ломаной, и вычислим момент инерции этого отрезка ломаной относительно оси $x$. Масса этого кусочка равна $\rho (x) \Delta s$, где $\Delta s$ - длина этого звена ломаной. Расстояние до оси $x$ приблизительно равно $y_k=f(x_k)$, так что момент инерции этого звена ломаной относительно оси $x$ равен

\[ \Delta I_k=f^2(x_k)\rho (x) \Delta s=f^2(x_k)\rho (x) \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}= \] \[ f^2(x_k)\rho (x) \sqrt{1+( f'(\widetilde{x_k}))^2}\Delta x, \]

где $\widetilde{x_k} \in [x_k, x_k+\Delta x]$, и мы использовали формулу Лагранжа для $f(x)$ на интервале $ [x_k, x_k+\Delta x]$. Суммируя по всем кусочкам и переходя к пределу в этой интегральной сумме (уменьшая максимальный интервал разбиения), получим:

\[ I=\int _a^bf^2(x)\rho (x)\sqrt{1+( f'(x))^2}dx. \]

Задачи.

1. Найти кооординаты центра масс (полагая распределение масс равномерным)

а) симметричного параболического сегмента с основанием $a$ и высоты $h$;

б) дуги окружности радиуса $R$, стягивающей центральный угол $\alpha $.

2. Найти момент инерции (полагая распределение масс равномерным)

а) полукруга радиуса $R$ относительно его диаметра;

б) конуса с радиусом основания $R$, высоты $H$, относительно его оси;

в) шара радиуса $R$ относительно его диаметра.